Demostración del teorema de Pitágoras | Teorema de Pitágoras

Demostración del teorema de Pitágoras

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Si queremos entender cómo funciona el teorema de Pitágoras debemos comprender ciertos conceptos matemáticos que tienen relación con el mismo y sin los cuales nos resultaría complicado e incluso imposible el poder entender la demostración del teorema de Pitágoras.

Entre los principales puntos a tener en cuenta antes de comprender la demostración del teorema de Pitágoras están:

  • Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90°) entre sus ángulos internos y sólo en estas figuras geométricas se puede aplicar el teorema de Pitágoras.
  • Cada uno de los lados de un triángulo rectángulo tiene un nombre particular, así, el lado con mayor longitud recibe el nombre de hipotenusa mientras que los lados restantes son llamados catetos.

Bajo estas premisas podemos citar al famoso teorema de Pitágoras que indica que “en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa elevada al cuadrado tiene el mismo valor que la suma de los cuadrados de ambos catetos”.

hipotenusa2 = catetoA2 + catetoB2

Para demostrar esta premisa usaremos un triángulo rectángulo como el de la imagen, en donde llamaremos ab a cada uno de los catetos y a la hipotenusa. A partir de este triángulo construiremos un cuadrado teniendo como lado a la suma de ambos catetos como se ilustra a continuación:

Demostración del teorema de Pitágoras

Ahora, tendremos que el área de este cuadrado es igual a (a + b)2

Vemos que la unión de las hipotenusas hace que tengamos un nuevo cuadrado con lado c; de esta forma, el área del cuadrado de mayor dimensión también se puede expresar como la suma del área del cuadrado ABCD con los 4 triángulos rectángulos que se aprecian en la figura. Entonces tendremos:

(a + b)2 = c2 + 2ab

Para simplificar esta expresión tendremos que desarrollar el binomio que implica a b.

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Ahora, eliminaremos el término 2ab en ambos lados de la ecuación:

a2 + b2 = c2

Con lo que queda demostrado el teorema de Pitágoras.

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Pitágoras
Pitágoras
Pitágoras de Samos (ca. 580 a. C. – ca. 495 a. C.) Filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de forma importante al avance de la matemática griega, así como al de la geometría y la aritmética.

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